이차방정식 근의 공식 쉽게 이해하는 방법, 시험 100점 핵심 정리

먼저 양변을$$a$$로 나누어$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$으로 만듭니다. 상수항을 우변으로 이항하여$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$가 되도록 준비합니다.

좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해$$x$$계수의 절반의 제곱인$$(\frac{b}{2a})^2$$을 양변에 더해줍니다. 이를 통해$$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$라는 식을 얻습니다.

양변에 루트를 씌워 제곱을 제거합니다. 이때 우변에는$$\pm$$기호가 붙게 되며,$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$가 됩니다.

마지막으로$$x$$옆에 있던$$\frac{b}{2a}$$를 우변으로 이항하면 우리가 잘 아는$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$가 최종적으로 도출됩니다.

루트 안이 양수이므로$$\pm$$기호에 의해 서로 다른 두 개의 실수가 해로 나옵니다. 그래프 상으로는$$x$$축과 두 점에서 만납니다.

루트 안이 0이 되어$$\pm 0$$이 사라지므로 해는$$x = -b/2a$$하나만 남습니다. 이때 이차방정식은 완전제곱식 형태가 됩니다.

중학교 과정에서는 루트 안이 음수일 수 없으므로 '근이 없다'고 답합니다. (고등학교 과정에서는 허근을 배우게 됩니다.)

'실근을 갖는다'는 문제는 서로 다른 두 실근($$D>0$$)과 중근($$D=0$$)을 모두 포함하므로 판별식이 0보다 크거나 같음을 이용해야 합니다.

근의 공식은 계산량이 많습니다. 가장 먼저 간단히 인수분해되는지 확인하는 것이 시간을 아끼는 길입니다.

소수라면 10, 100을 곱하고, 분수라면 분모의 최소공배수를 곱하여 모든 계수를 정수로 만든 뒤 공식을 대입하세요.

오답이 많은 구간입니다.$$b$$가 음수일 때$$-b$$는 양수가 된다는 점, 그리고$$c$$의 부호를 포함해$$-4ac$$를 계산하는 과정을 주의하세요.

분모$a$$와 분자의 두 항이 모두 같은 숫자로 나누어질 때는 반드시 끝까지 약분하여 기약분수 형태로 답을 적어야 합니다.